最低限必要な物
・マイク
・オーディオインターフェイス
・ヘッドホン
・パソコン（※あるとおっしゃてるので、不要）

★★オーディオインターフェイス★★
※聞かないかもですが、マイクをパソコンに直接つなげて録音すると、必ずノイズが入るんですよ。オーディオインターフェスというものは、そのノイズを防いでくれるものです。
ゲーム発信とかなら不必要ですけれど、お歌を歌われるとなると購入されたほうがよいですね。
Steinberg UR12（予算を考えるとこれしかないですね。どこの音楽屋さんにも、売ってて高くても10000円までで購入できますよ。簡易的な音楽編集ソフトもついてきます。）

★★ヘッドホン★★
必ずモニターヘッドホンというものを選んでみてください。
モニターヘッドホンはありのままの音を聴くことに特化したヘッドホンですね。
audio-technica ATH-M20x
audio-technica ATH-M30x
AKG K240
のいずれかがお勧めです。（7000円くらい。音楽専門店ならどこのお店にも置いてありますよ）

★★マイク★★
コンデンサーマイクというものを選んでみてください。
コンデンサーマイク・ダイナミックマイク・ガンマイク　と大まかに3種類くらいあるのですが、コンデンサーマイクなら繊細にお声（音）を拾ってくれますよ。
安めのモデルなら5000円程度で買えると思いますよ。コンデンサーマイクで指定して店員さんに選んでもらうのが良いかもしれないですね。